Ejemplo 12 Si h: N — ►N Ejemplos 3 x _2+1 f 2 1 -6 4 - - 1 + l ) - (0) + ( 23 - 22 / V ( 4 x3 dx+ ¡ Figura 7.7 Resolver los siguientes problemas: a) Una fábrica de relojes produce 150 unidades a un costo total de $750,000 y 250 a un costo total de $1,125,000; suponiendo que la ecuación de costo es lineal, encuentre cuánto vale producir 200 relo­ jes. _ - Tomando u = 1 + x y v = 2xr + 1, tal q u e 2. 4 3 126 CONJUNTOS 19 Lím f(x) existe, y 3. f(c) = Lím f(x) x-+ c — V La función y = ------ tiene una asíntota oblicua dada por la recta y - x — 1, x+ 1 ya que este es el cociente de dividir x 2 entre x + 1. 9. = am~n ~ 1 :................. Además, a + b X c X e + f + g se define com o V 2 e f f expresión factorizada 8) = / (5jc4 + 2x)dx = x* + x 1 + c F U N C IO N E S EX P O N EN C IA LES Y LO G A R ITM IC A S c) + a3 10 Calcule Graficando, Ejemplo 4 1. 1 193 ( Véase gráfico). ( l ) ( 11 / V 14 1 km No puede construirse h) Resuelvalassiguientesecuacionesdiferenciales: a) —dy = í2+ 3í, siparaí =0, y =2 dy =\J,-xy - 3, siparajc=0, y= 3 b) --dx dy La transformación de una ecuación en otra más sencilla es resultado de la aplicación de una serie de propiedades que permitan expresar la ecuación ini­ cial en una equivalente. ________ 47________ ( x - 4 ) ( x + 4 ) ( * + 1) x =- (3.2, oo) 2X2 a , = — para k # 0 b = 0.2 + ( - 2 ) - 1 = 0 - 198 219 Si A es una matriz de tamaño mXn tal que A = (tty) y K es un número real, entonces K'A = (Jf*a¿/). 6 4 + 4 ( 1 6 } —! + 3x Las formas de la ecuación de y = yo + m (x ~~ Y = m x+ b Se estima que al cabo de t años, la población de cierto país será de 80 = 8 + 1 2 e -o- 06f millones, a) 5 Implicación a) M ATEM ATICAS UNIVERSITARIAS El cálcu­ lo de integrales más complejas está fuera de los objetivos de este libro. 1-31 1 c) La operación tiene que estar definida para todos los pares (a, b), donde a y b son elementos de S. 3. Conclui­ mos que existe una correspondencia biunívoca entre los puntos de la recta numérica y los números reales. Solución: En este caso lo que se quiere es encontrar el número de artículos que se de­ ben producir para equiparar los costos del primer concepto con los costos del segundo concepto, 120* = 15,000 + 60* donde x: número de hamburguesas a producir. c) e) g) i) 4. o; b) (4a2 - 3 b 2) - (lab + ó2) -(5 a 2 + 6ab + 1062) = 4a2 - 3b2 lab - b2 - 5a2 - 6aí> - 1062 = - a 2 - 14ó2 - 13aó El proceso de la adición se puede realizar convenientemente si se distri­ buye el trabajo en columnas de manera que cada columna contenga única­ mente términos semejantes. —2 A p é n d ic e D Observe que O3 = 0 8. x2 dx dt Si un objeto es lanzado hacia arriba con liria velocidad inicial V0 = 49 seg2 m , desde un edificio de 40 m, ¿cuál es la velocidad y la altura a la que se seg encuentra 3 segundos más tarde? 38 3 Jm 1 Resolver el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el método de Gauss. n n p ^ q 14.5 1— entonces: ■X + 6 297 © A s) -*■ q f g) La vida promedio de una sustancia radiactiva es el tiempo que tarda en desintegrarse un 5 0 % de una muestra de la sustancia. Ejemplo 8 El costo para producir un par de zapatos es de $5,700 y depende de la mate­ ria prima y de la mano de obra. Para t = 8, 10. f d) (* — 3y)J + 6xy + 5y = 9y2 — 1 e) a 2. , = Lim 2x + Ax + 2 Ax ->-0 Como e > 1, entonces por el Teorema 2 la gráfica de la función f( x ) = ex es creciente, como se muestra en la Figura 11.3. Gran parte de las ecuaciones analizadas han sido expresadas en forma explíci­ ta, esto es, una de las dos variables estaba dada explícitamente en términos de la otra, como estudiamos en el Capítulo 10. b) (y3 x 1) (—3 x 1 y ”3 ) -3 (2 x~2 y 5 )2 c) 4. x 2 - 2 = (* + VT) ( x - v / 2 ) d) Completación del cuadrado perfecto No todos los trinomios son cuadrados perfectos, asi, a* + a2 b7 + b4, no es un cuadrado perfecto, ya que, aunque existen dos cuadrados perfectos, el tercer término no corresponde al doble producto de las raíces de los cua­ drados. Au 2 El símbolo radi­ cal lo utilizamos para representar la operación conocida com o radicación, que como veremos en este capítulo es la operación inversa de la potenciación; de estas dos operaciones estudiaremos sus propiedades y la relación entre ex­ ponentes y raíces, de tal forma que complementemos el estudio de las expre­ siones algebraicas. 1 m x si x > 0 y/1? La pendiente de una recta indica el grado de “ inclinación” de la recta, y formalmente se define así: cambio en y Ay m = pendiente = -------------------- =-------cambio en x Ax luego, la pendiente es la razón que existe en la recta entre Y y X . = 1. x2 - 9 = (* + 3) (jc — 3) 2. x —1 Si A es una matriz invertible, entonces A~[ existe, y ( A -1 -B)X = A~l ‘ B; ésto es ZX = A~'B. c = cíe, 2/ ~k Si el agua pies3 cae en la cubeta a 2 -------- , ¿a qué velocidad está subiendo el nivel del min agua cuando tiene 1 pie de profundidad? *] x < —a mari orellana. 7 59 - — x + ------ C 2 Una de las aplicaciones más usuales del cálculo diferencial, es hallar máxi­ mos y/o mínimos (puntos óptimos) en problemas prácticos de aplicación. f una rara forma de gripe, aproximadamente f(t) = --■■ _0 3 T 9c personas han adquirido la enfermedad. M A T E M A T IC A S U N IV E R S IT A R IA S El logaritmo de un producto: 2 (—10) 6 6 2 a: McGraw-Hill. Al final de 5000 años quedan 2000 gramos de sustancia. 314 — (y') dx Si f es una función con segunda derivada, entonces f es cóncava hacia arriba, para todo x, tal que f " ( c ) > 0 y f es cóncava hácia abajo, pata to­ do a, tal que f '(x) < 0. 3 P2 ( x 2 , y 2 ) , y = 1 dy — = 2z dt Derivada de la función exponencial si y = e x , entonces y ' = e x t \ dy si u = u(x) y y = e u'x ) , entonces dx p iL q jc es el índice de la raíz 257 L4 Una matriz se puede notar por A = (at¡). 2. Con centro en el origen y radio R 2. Calcule el área de la región limitada por las curvas/^jc ) = g(x) = 3 jc + 3 . 7 * 5 + ^(pAq)+->^pV'''q RESPUESTAS 7. a) P O L IN O M IO S Y F U N C IO N E S P O L IN O M IA L E S = 3 ( y/E+ y/J) = 3 GMHttMmttMHttM O -■ i1 0 1 Figura 8.10 |x | < 1. ak = ekx d) 3-2 + (—2)3 e) b33 e ad Definición 5: Se dice que una función f es continua en el intervalo (a, 6), si es continua en cada uno de los puntos del intervalo. El promedio es de 3.0. a) $4,290,000 al 3% y $710,000 al 1% b) $ 92,600 216 artículos de $32,000 y 184 artículos de $ 4,500 Cada escritorio tiene un costo de producción de $65,000. . M A TE M A TIC A S U N IV E R S ITA R IA S Resolviendo la ecuación de una variable se obtiene: 20 — 5.x = 9 * + 6 14jc = 14 x = 1 Ahora remplazamos el valor de x en cualquiera de las ecuaciones (1) ó (2) a) x 2 + x 2 —5 b) 3x2 + 5x+ 2 c) 2*2 + 3* + 5 d) 4x3 + x - 3 e) x3 + 2x + 3 f) x 2 + 3 i) 2x3 - x + 6 h) X4 — X 2 + 1 i) jjS + x 4y + x 3y2 + x 2y3 + xy* + y 5 x1 + 2x + 4 J) 6. a) 98 M A T E M A T I C A S U N I V E R S I T A R I A S Luego la solución es (—15, —3) U (9,21) Ejemplo 9 Resuelva |jc+ 1 |< |jc- 3 | sea |* — 3 |= a, luego |je + 1 | < a, entonces —a < * + 1 < a, por lo que -| Antón, Howard. 6.8 Obtención de las asíntotas de la función, si existen. x+ 2 1 Ajc POLI NOMIOS Y F U N C IO N E S P O L IN O M IA L E S b) M A T E M A T IC A S U N IV E R S IT A R IA S Definición: «a Si r Al igual que para la realización de una gráfica, la solución de un proble­ ma de máximos y mínimos puede obtenerse siguiendo una serie de pasos que se enuncian a continuación: l 21 WebGarantiza la seguridad de las organizaciones con el Grado en Ciberseguridad de UNIR. ±v y 2a m) Lím WebCalculo Vectorial-Dennis G. Zill.pdf. ; = 10,000 ^ i + . Es importante recordar que en el álgebra de las fracciones se aplican las propiedades R t a R &del Capítulo 3. X O b) Los cortes con el eje Y se encuentran a! 2X3 1 0 0 Para demostrar la validez de un argumento debemos partir del hecho de que tenemos las proposiciones Pi A P2 A . Definimos el costo total como la suma de los costos fijos más los costos variables. WebFórmulas Matemáticas-Álgebra, Aritmética, Trigonometría ... ... Loading… Entre los matemáticos que niás se destacaron en el trabajo de funciones está Leonard Euler (1707 - 1783), a quien se debe la notación y = f (jc). f) M A TEM A TIC A S U N IV ER S ITA R IA S 3x + y + z 2 .} no existe SÍ A = f f 1 o 1 + 1 1 o 1 Web612 Libros PDF de Fundamentos De La Matematicas De Silva Y Lazo Matemáticas [PDF] Tipo de Archivo: PDF/Adobe Acrobat Matemáticas. Al morir los organismos vivos, la can­ tidad de carbono 14 empieza a disminuir con respecto a la del carbono ordinario. Dibuje las curvas y - 3* e y = 5X en el mismo plano. Como mencionamos anteriormente, un número real es un número que se puede representar por una expresión decimal infinita. jc2 Los otros números del renglón 3 corresponden a los coeficientes del co­ ciente, cuyo grado será uno menos que el grado de P(x), Por tanto Q(je) = jí4 — 5.x3 — x 2 + 3jc + 2 y [ i 3 - Ix y + 2y2 + 19a - 13y + 2 0 5. / x+ 4 Como las velocidades son constantes, el tiempo empleado para recorrer cuald quier distancia d, es t = — ; luego: v d1 dj ... . b si El diámetro min de la base del cono es aproximadamente tres veces la altura. + (5 p Para calcular el límite transformamos la función inicial así: ^ x7 — 4 -T = i— luego A) V * + Va i '•mn ~ -4 = 7.6 De hecho, en este caso x = —2 no es una solución de la ecuación original (6.3), ya que al remplazar la x por —2, obtenemos denomi­ nadores iguales a cero.17 En este caso x = —2 se denomina una solución apa­ rente. 1 p) 0 dx ± Analice la discontinuidad de f en x = 2. c) Resuelva la ecuación 2x2 + 5x — 7 = 0 (x — 1) (2x+ 7) = 0 entonces, x — 1 = 0 ó 2x + 7 = 0 de donde x = -1 o> x =7 — Recuerde que no todas las expresiones de la forma ax2 + bx + c son factorizables, es decir, que este método no se podrá aplicaren todos los casos; de ahí la necesidad de estudiar otros métodos de solución. M ATEM ATICAS UNIVERSITARIAS (5.7) z — Ax En muchas ocasiones el valor de determinada cantidad depende del valor de otra; el ingreso, por ejemplo, depende del precio y de la cantidad de uni­ dades demandadas; el área de un círculo depende dél valordelradio,etc. x = 1 du , , • — — o y ( * ) = y ( u ) - u (*) dx — [3*2 ] = 2 X 3 *2- 1 = 6 *1 = 6jc dx d Figura 3.8 Cuadrante del plano cartesiano. EC U AC IO N ES - a) En este caso, 0.38 representa la variación del dólar con respecto al tiem­ po, esto es, la pendiente; luego m = 0.38 Suponemos que el día de hoy es el día cero, luego conoceríamos el punto P(0.360); por tanto, y = 3 60 + 0.38 ( jc— 0) y = 360+ 0.38* b) En 10 días el precio del dólar será y = 360 + 0.38(10) y = 360 + 3.80 y = 363.80 7.4 V 7 —x a 21 2 * 0 = ( 2 + 0) + ( 2 X 0 ) = 2+ 0 = 2 e) Si existen los inversos, V a, 3 a -1 / a * ■ 4 180 184 a) Ecuación punto-pendiente La ecuación (7.2) Ejemplo 24 Resuelva 4x - y + 3 = 0 8* — 2y + 6 = 0 Eliminado x, obtenemos 0 = 0 Esto significa que las dos ecuaciones iniciales son iguales, por tanto al representarlas gráficamente las rectas coinciden, lo cual implica (véase 6.8) que el sistema tiene infinitas soluciones. (5.10) NUM EROS Si * es asociativa, es razonable definir que a * b * c es igual a cualquiera de las expresiones (a * b) * c ó a * (b * c). (7.3) implica que * + 4 > —6 ó x2 + 6x + 9 = (x + 3)2 9x2 — 30x+ 2 5 = ( 3 x - 5 ) 2 1/ ^ A- = ✓ /V , ii) Cociente de los coeficientes, que se obtiene dividiendo el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor. 2 .7 = Introducción a las matemáticas. 1 1 A h) ¿Por qué la sustracción no es conmutativa en los números reales? Multiplicando por (—4) la primera y sumándola con la segunda y multi­ plicando la primera por (—3) y sumándola con la tercera. x7 — 1 Grafique f(x) = y = -----------x + 1 El dominio de la función es Df = { x I x e R A x ¥= - 4 } Observe que algebraicamente (a2 — 1) / f(x) = x — 1, con x ± —1. M A T E M A T IC A S U N IV E R S IT A R IA S 5000(15) - 150(15)2 Esto es, hay dos elementos integrantes y un resultado. Referencias Lovaglia, Florence. (-0 0 ,-1 3 )^ 1 (7 ,0 0 ) p En las proposiciones abiertas el valor de verdad, denominado conjunto de verdad, es el conjunto de todos los valores de la variable que hacen que la proposición sea verdadera. 1 sen $ 1 tang 6 Para realizar este producto efectuamos el producto factores y este nuevo producto lo multiplicamos por el tercer ractor. » repitiendo las dos primeras filas det A = Encuentre las inversas de las matrices dadas, si existen. - 3 ± 11.7 . x sen — = Como los intervalos son, com o se dijo inicialmente, conjuntos de números reales, las operaciones de intervalos son operaciones de conjuntos: unión, in­ tersección, complemento, etc. 2+ x —2 1 fila 1 fila 2 Conti­ nuando con el procedimiento, y teniendo en cuenta lo dicho anteriormente, utilizaremos nuevamente a 2 como una posible raíz. Para cualquier número real a, se define su valor absoluto com o sigue: a; si a > 0 Io | = -a; si a < 0 Gráficamente, -6 Ejemplo 6 Resuelva x + 8 > 5x - 1 2 Procediendo como en el ejemplo anterior, x — 5a > —12 —8 —4.x > —20, (com o —4 < 0, entonces x< x-+ c Area U , luego e) ( * - 2 ) 3 ( * + 5)6 ( * + 3 ) < 0 ( * + | ) ( 2 * + 3) é------------------- < 0 *(c + 4) ( 3 * + 5) g compuesto f(x) i) R, V En los ejemplos aplicaremos el teorema para obtener las raíces racionales de un polinomio siempre y cuando éstas existan. Así: El área del terreno es de 8,400 m2. ¿Cuál es la altura máxima a la que sube el proyectil? 7.5 J - 60,000 3 * 2 -1 ,2 0 0 ,0 0 0 * = f'(x) ± g\x) para * = ( - 2 ) 1 2a3 + a2 + 1 4 * + 1 Algunas expresiones cuadráticas son trinomios cuadrados perfectos. = = c (* + A*) — c(x) = 10,000,000+ 150 (* + « > -[1 0 ,0 0 0 ,0 0 0 + 150*] V Diferencia de matrices Si A y B son matrices de tamaño mX n, entonces A — B = A + ( - £ ) Ejemplo 3 5 c) Pasa por (3 ,1 ) y m = 0 d) Pasa por (9, —5) y tiene la misma pendiente de la recta 3x + y = 1 5. 2 Observe que aunque no nos dan la pendiente, podemos calcularla y luego usar la ecuación punto-pendiente para determinar la ecuación de la recta. X 0 (3*+ 4 )(* + 4)+ ( * - 3 ) ( * - 4 ) ( x + 4)2 ( j c - 4 ) El incremento en los costos es de $300,000. 41 Observe que el paso para originar el 1 de la tercera columna tercera fila no es necesario, porque se obtuvo com o consecuencia del paso anterior, lue­ go la solución del sistema será: x El siguientediagramailustrael procedimiento aseguir parasolucionar cualquierecuacióndegradomenoroigual a2. 2 C ll 7 2J Budnick, Frank. 1 ¿Es * conmutativa en Í2? 4. a) b) c) d) e) f) g) h) i) i) Figura 6.5 convexa arriba ( jc2 + Un día, la suma de las distancias recorridas por un Neverstart y un Everk­ nock fue de 91 kilómetros, y el costo total de la gasolina consumida por los dos automóviles fue de $1,620. = Lipschutz, Seymour. 9 = —1 (soluciones de , (3**) = A + (B + C) = Oj3 $150,000 (1.015)12 = $150,000 (1.19562) = $179,343 Al transcurrir t años, el saldo final obtenido es: Lo anterior nos permite definir de manera informal el límite29. ( 5 ) y (6) i) y j) f 2 VM3~ 5 7. Conversión da grados a radianes y viceversa 2X2y — 5ay2 — 3 y 3 &31 +6 20 + 16 = 0 0 = 0 De manera similar podemos obtener una ecuación para la aceleración, como la derivada de la velocidad con respecto al tiempo. |4* — 13 |< 5 x (— a , b) = \ X £ R / X < b ) de donde obtenemos la siguiente solución. 6 A continuación detallaremos el procedimiento para la construcción de la tabla anterior (Tabla 2.3): Como en este caso intervienen dos proposiciones, el total de combinacio­ nes que se consideran es cuatro. X~l Equivalencia (■*-*) La definición de una operación binaria asociativa es la siguiente: La ope­ ración binaria * es asociativa en un conjunto S si, y solamente si, para cada tema de elementos a, 6 y c de S (o y/x+ 2 — y/2 ¿Cuál es el incremento en los costos? . 147 . Haría. V dw = uv ------ + dx M A T E M A T IC A S U N IV E R S IT A R IA S En un término se aprecian tres elementos fundamentales: él signo, el coe­ ficiente y la parte variable. = ( I ) x c Matriz diagonal: Es una matriz cuadrada cuyos elementos d,y = 0, cuan­ do i es diferente de j; la notaremos así: o) 7. [ Definición de inverso aditivo 162 M A T E M A T IC A S U N IV E R S IT A R IA S !? —ad —be p o r (7.1) 1 0 ] 27 “ ----2 E C U A C IO N E S Como el rango es el conjunto de los reales positivos, unimos los puntos. . (* + d* dy dy —— , dx _ jc -1 r.2 Lím x -*■ 0 4,492,000 Capítulo 2 1. En la Figura 13.6 se ilustran estos casos. V F + 7 9 "+ V I F 2 ( V 6~)2____________ 12 RESPUESTAS 0 0 Kramer. . 82 M A T E M A T I C A S U N I V E R S I T A R I A S rb I [/(« ) — £(*)] dx *a 3*2*1 pVq 2 'V r — 2, si jc > 3 3. í En este caso, la tasa de cambio de f entre Pi (*> V) y P2 (* + Ax, y + Ay), corresponde a la pendiente de la recta que une los puntos p 1 y p 2, véase Figura 12.2 El conjunto A se denomina dominio de la relación y el conjunto B el rango22 de la relación. 3 * 1 Departamento de Didáctica de la Matemática. b (4) (4) (4) (4) (4) = 4! (—1) X a = —a 4. a) ( o , — ) y ( 10 ' Haría. b> Este proceso se repite hasta obtener el último número del tercer renglón, así: Renglón 1 Renglón 2 3 < Recuerde que: 1. 3. Teorema 2: Sean f y g dos funciones, tales que Lím f(a) = A y Lím g(x) = B, entonces: x -*■ a xy a 1. Repetimos este proceso en el eje Y, colocando los reales positivos por encima de 0 y los reales negativos por debajo de 0. En la segunda hora, la población total será: P , - 100,000 ( 1 + 3^ ) + Recuerde que: 1. 2x2 — * — 3 Inicialmente producía 20 unidades por día, y después de una semana puede producir 30 unidades diarias. El concepto de función creciente y función decreciente viene dado por la siguiente definición: Ejemplo 3 Como 3 > 0 y 8 > 0, entonces 3 • 8 > 0 Como —9 < 0 y —10 < 0, entonces (—9) (—10) > 0 10. 2.8284 si tang 39 En algunos libros, a la función G( x) se le denomina la antiderivada general de la función f(x). a) do. 0 f (3y2)2 los valores de verdad sean todos falsos se le denomina falacia o contra­ dicción. (6.5) Primer semestre i-x 2 (1 + x2)2 Observe que f no está definida en x = —1; entonces debemos transfe mar f(x) así: jc2 - 1 x ■+■ 1 F(x) = 7 En el término —xy~2z 3, el signo es menos (—), el coeficiente uno (1) y la parte variable es xy ~2z 3. 39 r = 4-— Estas relaciones y muchas otras más, en las cuales una variable depende de otra, se representan en matemáticas por medio de funciones. El álgebra es la parte de las matemáticas que trata de las cantidades represen­ tadas por medio de símbolos. Por lo anterior, debemos utilizar com o regla continuar el procedimiento de división sintética con una misma raíz, hasta que el residuo sea diferente de cero. El anterior ejemplo puede gene­ ralizarse en el siguiente teorema: Teorema 1 Si F es una antiderivada de tina función f, entonces G(a) = F(x) + c, con c = cte es también una antiderivada de f. { x/a < x < b } 2x + Df =(-, 2] U [3,oo) b) En este caso ¿a qué precio se vendió cada artículo? = - 6 5 f [100 + 50 (t + At) - (f + Af)2 ] [100 + 50f - t3 ] Ai 100 + 50i + 50Af - t2 - 2t At - (At)1 - 100 - 50í + At 1 L im .........—— ...= - = g(0) x-+ 0 V 2 + * + s/2 *+ 1 De la misma manera podríamos obtener el valor de verdad para cada una de las combinaciones de verdadero y falso para la conjunción A así: v v f f Lógica O B JE TIV O S A L G E B R A B A S I C A 67 y 2 — y, ■ V q -> N p 16 ] d) [ I ’ ’ 13] 3 1 6. ttÍ 0 a ÍJ r U (p -►q) V 'V (p 2 x + 5 = 0, (1 + >fx) a3 1_ b) 4. (2.1) + (0.3) 57.3° p f n-ésimaderivada ej fe e s A Observe que este incremento habría podido obtenerse así: Au (a, ó) -*• (o X ó) 262 Si a > b y c < 0, entonces a/c < b/c Solución a) Mediante una observación directa de la tabla, tenemos que cualquier ele­ mento operado con “ 1” origina el mismo elemento; luego el idéntico de la operación es 1 . WebFundamentos de Matemática. Capítulo 14 Al proceso de encontrar la antiderivada de una función por medio de la “ operación” integración, se le denomina integrar; éste es uno de los procesos más complicados del cálculo, pero nosotros trabajaremos con funciones cuya integral es fácil de calcular. a^ ° = 1400 3x3 (*) = R ( x + A X ) - R ( x ) R(x+Ax) fila 3 1 a mn Observe que —5 m 2 nk es equivalente a —5 m 2nkp° b) h) Comprobar si la solución hallada se ajusta a 1a situación descrita en el problema. j) 83 6. Nota: En la expresión a X (b + c), el paréntesis en 6 + c es necesario para evitar cualquier interpretación errónea en la realización de las operaciones, dado que sin el paréntesis la expresión anterior podría realizarse: i. 2 1 - 6 , Una vez que la publicidad inicial acerca de la aparición de un nuevo libro ha terminado, las ventas de la edición de cubierta dura tienden a decrecer exponencialmente. y/W+ y/3 C pesos colocados a una tasa del r% producen un interés I, I = Cr/100 Por lo anterior 505.000 = x 8% + (6,000,000 - x) 9% 505.000 = — + ÍM — ^°°—T x1 $ 100 100 -50,500,000 = Sx + 54,000,000 - 9* x = 3,500,000 Luego la cantidad a invertir al 8% será de $3,500,000 y al 9 % d e $2,500,000 Ejemplo 7 En un almacén de calzado hay 500 pares de zapatos de dos marcas diferentes, cuyos precios son $8,000 y $13,500. = —5 Una suma de dinero se invierte a un cierto tipo de interés. 14 3 1 4 Se dice que un argumento es válido si asumiendo que todas las premisas son verdaderas la conclusión también lo es. d )T V ~2 Ar» 9. {x/a■ 0 Ajc El producto 1*2*3 . 2 El elemento a,;- está localizado en la intersección de la i-ésima fila y la j-ésima columna; m X n representa el tamaño (orden) de la matriz. 8. 33 J (10,000) + 0— a) WebKotler, P. & Armstrong, G. (2008). ( Kg) es continua en c, para todo K Cociente de funciones: (flg)(x) = f(x)/g(x), g(x) * 0 En cada una de las operaciones anteriores x está tanto en el dominio de f como en el dominio de g. 5. -2 ¿Es siempre verdadero que a * b = b * al p no se le conoce período. (a: + 1). 3 1 3 '2 1 Fue Aristóteles (384-322 A. C.) el primero en lograr una sistematización de la LOGICA. X * 2 + jc — 2 c 20 116 -4ÍJC2 - a 21 En el ejemplo anterior mostramos cóm o, mediante las operaciones ele­ mentales, la matriz A se transforma en la matriz equivalente. y f 2y r ---------------------- valores de x cer* 0 canos a cero, obtenemos una expresión de la forma — que representa el 86 M A T E M A T I C A S U N I V E R S I T A R I A S a) 2.99 -0.00144 Ejemplo 26 Resuelva (1) Solución a) Consideremos cada punto de la recta de la forma (je, p) luego Pi (180,150) y Pi (130, 200), entonces m = (por producto de fracciones) Ejercicios y problemas S 214 jc = 54.04 mt. f~l (x) = ,, Un ángulo de 180° es igual a dos ángulos rectos, luego mide n radianes. -2 -1 — ( 5 * 2 + 7 j c - 1 ) 5 (1 0 * + 7 ) (V2 + * + y/2 209 de elementos. Frecuentemente se representa g(cc) por f~l (x). Sin embargo, podemos calcular 2 + 5 + 8 agrupando (2 + 5) + 8 2 18 O m itim os la dem ostración d e este teorem a, p or ser de alta dificu ltad. En este capítulo nos ocuparemos, en particular, de las expresiones alge­ braicas, de los polinomios y de las operaciones fundamentales entre ellos. y - 1 La expresión general de tales sistemas es: an x + al2y + al3z = b1 a21x + a22y + a23z = b2 a3i * + a32y + a33z = b3 La metodología de la sección anterior se puede aplicar sin cambios sus­ tanciales a este sistema. f 1 2 entonces, Solo se puede especular sobre los métodos utilizados para generar los resultados … 12 4 veces como factor a12~J ~ f _1 3 = ( 15 + , B * 0 Operaciones con matrices 66 y fx + V * + Ax • — 7= ------:.. l t V * + V * + Ax Si y = y(u) y U = u(x), entonces dy —— dx Si el costo de la materia prima es el triple del costo de la mano de obra, ¿cuál es el costo de la materia prima y de la mano de obra? du dx Gráficamente, La matriz A muestra las unidades de materia prima utilizadas en la elaboración de 50 panes de cada tipo. 19 2 + bn 2 2 -4 costo de producir un artículo Intercambiando la segunda fila con la primera fila y multiplicando ésta por —1, obtenemos. Df = R - { - 1}, Rf = R - { 0 } Calcule la antiderivada general de las siguientes funciones: 3ac — 2 b) f ( x ) = ( x - 2)3 La demostración es similar a la del caso anterior. 4. 7 c 31 Recuerde que utilizamos el símbolo °° para representar una cantidad m u y grande. t » 231 años x f V * 2 - 8 — v ^ é ^ í 'l L x2 - x + l J -8 1 \ fx — y/x+ Ax v En este caso los puntos no se pueden unir dado que el dominio de la función son solamente los números naturales. El límite de f en a coincide con el valor de f(a). » /•> una función g(x), tal que g(a) exista, y este valor g(a) sea el límite de la función inicial. jc -» a (jc+ '3 f(3 «-l) jc3 + 9x* — 5 « + 1 ( x + 3) (3.x— 1) 12.8 Derivación implícita c) x*y6 g) 36*-12y 20í " 10 1 1 2 j - , - - Multiplicando por —28 la segunda fila y sumándola con la tercera, obte­ nemos el cero de esta segunda columna, así: 1 0 1J 1) y = xx (A + B) + C 1-1_ "l 1 si y (0,4) _ 2 ~7 - 1 f F U N C IO N E S 10.3 lo ilustra. . ) ? Fundamentos de Matemáticas. 5 — + i " 88 k) Un fabricante recibe materiales en bruto en cargamentos iguales que lle­ gan a intervalos regulares a lo largo del año. Calcular raíces racionales por medio de la división sintética. 7 d) Un cultivador de cítricos estima que si se plantan 60 naranjos, la produc­ ción media por árbol será de 400 naranjas. 6 x 4-2 “ Ejemplos ka 1 ) ----' kb Definición de 1 Elipse b) ¿Cuántos días transcurrirán hasta que el número de moscas sobrepase las 10,000? ¿Qué propiedad tiene la operación * si, para cualesquiera a y b de S, a * b = b * a? b) Si la política de la tienda es hacer un pedido en el momento en que tenga en depósito 336 artículos, ¿en cuántos días deberá hacer un nuevo pe­ dido? (l-* ) Luego Lím * -*■ 3 8 > -1 Como —4 < —2 y 6 < 10, entonces - 4 + 6 < - 2 + 10 f(x + Ax ) - f ( x ) v — 200* + c - 1 f (x+5)(x-2) B = NUMEROS 188 M A T E M A T IC A S U N IV E R S IT A R IA S 165,000* - 15,000fe2 = 0 El francés Vieter fue el primero en introducir letras para representar nú­ meros de tal forma que cualquier razonamiento particular tomata carácter general. - Para ello se escoge un valor cualquiera de * por ejemplo 0, y después se remplaza en la ecuación dada para calcular el correspondienté valor de y, ásf: y =3(0)+2 y = 0+ 2 y = 2 De manera similar podríamos comprobar que, efectivamente, (—2 , — 4), (—1, —1), etc. Paso 3: dR dt dR dt dR dt 13.5 'a \ _1 ~ :4 1 1 < i A En estos casos el procedimiento a seguir es transformar función dada en otra algebraicamente igual, definida en a, y después cí cular el límite com o en el caso 1. 3~ f e — Use la función de ingreso para calcular el ingreso adicional real que será generado por la producción de la unidad 81. f) En la siguiente tabla se encuentran los valores de las funciones trigono­ métricas de algunos ángulos, tanto en grados com o en radianes. WebApuntes , cursos, trabajos de Economía y Economía de la empresa Descripción: Libros digitales gratis y apuntes útiles para oposiciones de Economía, Administración de Empresas, Comercio y Marketing, FOL, etc..Vía: ecobachillerato.com. Ejemplos 1. (—2)3 (—2)2 = (—2)3+2 = (~ 2 )s 3. WebRevista Paradigma, Vol. a3 6c2) + (3a2 6) (-4 a 6 4c 3) + (3a2 6) (8) y siguiendo el procedimiento para multiplicar, se obtiene = —a5 62c2 — 12a3 65c3 + 24a2 6 4 3. 15a: + 2y — 4 = 0 13a: — y — 9 = 0 3 2 Lím f(x)± 1. 1 Vx, ^ x a) AR = 248,05 así: x 2a — \fab + b 4a — b 2. L A I N T E G R A L 313 (m2 n3)-y Racionalice a) a) + 5x + 2) (5x2 + 6x + 3) —2 (3x2 + S) (x3 4- 2xa + 3x) 2 yfx (x3 + 5x + 2)2 ' b) Q(x) = 8*3 + 58x2 + 348a: + 2088 R(x) = 6265 c) En este capítulo trataremos únicamente las ecuaciones algebraicas, y dentro de éstas las lineales, las cuadráticas y los sistemas de ecuaciones. 6 = si o b = c, -1 /(* + A x ) - f ( x ) Ejemplo 7 (x2 + 5y) (x2 — 7 m) = (x2)2 + (5y - 7m)x2 + (5y ■ - 7 m) = x4 + (5y — 7m)x2 — 35ym = je4 + 5 x 2y — 7 x 2m — 35ym Sugerencia: antes de continuar, se recomienda realizar los ejercicios al final del capítulo relacionados con los temas vistos. y/5+ y/2 j) 1 -2 *—* 2.95 X2 Ct = 150,000 (1 + 0.045 )20 Ct = 361,757.10 Si el interés se capitalizara continuamente, el saldo total al final del año vendría dado por la expresión. — b 8) - 5. _ 34 . y Para ajmdar a recordar su fórmula, tenga en cuenta que el denomi­ nador es el producto de los enteros desde 1 hasta fe. — no es un número real, entonces la ecuación no tiene solu­ Un razonamiento lógico es un razonamiento en el cual a partir de una' serie de enunciados llamados premisas, se obtiene un resultado llamado conclusión. (/32~ 3 ln2 x A continuación detalla­ remos los diferentes intervalos con los que se trabaja usualmente en mate­ máticas. 1 h: y = Matemáticas contemporáneas. WebCORE – Aggregating the world’s open access research papers 1 Y‘ = | Obtener las asíntotas de la función, si existen. Por ejemplo, la siguiente suma: - 3x + ( * — * 1 ) ; JCi * Si puede recorrer la playa a una velocidad de 1 — — jc2 — 3a: + 2 4x2 + 3x A P L IC A C IO N E S D E L A D E R I V A D A J 8. 3 M A T E M A T IC A S U N IV E R S IT A R IA S co y = 2x2 + 5x + 7 11) Suponga que dentro de ar años, ei va­ lor de una caja habrá cambiado a un ritmo de 1530—20a: pesos por año y que las tasas de almacenaje permanecerán fijas a $350 pesos por caja por año. —4 ± \ /l6 — 4*3*4 ¿Cuánto recorrió cada uno? ( jc 32 ac3 —7 - x 5 4 x 2m3 192 (jc2 + 7)2 y f 1 Asimismo, tomando u - f(x) y y = g(x), se puede escribir de nuevo como Ax->0 M A TE M A TIC A S U N IV E R SITA R IA S m i (5.2) 18 ¿Cuál es la población actual del país? . x= 0 [ (4o2 - 3b2) - (7ab + b2) ] - (5o2 + 6ob + 10b2) m) La longitud y el contom o de un paquete que ha de/enviarse por correo no puede sobrepasar en total las 100 pulgadas. = Al? V Basaremos nuestra discusión en las propiedades de la adición y de la multiplicación, y de ellas derivaremos las propiedades de la sustracción y la división. y = 0.125+ 0.3103 = 0.4353 14.7 = 4 8 ,4 0 0 ,0 00-10,648,000 M ATEM ATICAS UNIVERSITARIAS En este caso el área bajo la curva y el eje X es menor que el área por encima de la curva y el eje X. 14 es el resultado de 32 — 18. Esta es entonces una defini­ ción de la velocidad como la derivada del espacio con respecto al tiempo dx(t) vl,) = ~ ¡ r - 1 + 3 (-2 ) 9 + 3 (6) 3 -7 27 4. i) [ 2x — y + 4z — 1 = 0 | 3* + 2y — 5z + 4 = 0 ( 5 * + y —¿ + 3 = 0 Una población inicial po está creciendo de tal forma que al cabo de un tiem po t, en horas, 3 po = po e +0Mt. 2 x2 + 5 Download. / , d r\ 3 r2 — } \ dt J ( Enter the email … . Figura 10.5 ff(x) = Ix I 1 — 3 = 1 es una de las raíces de P(x). j x 3 dx ( jc ) + Por tanto 50 panes integrales producidos en el sur tienen un costo de $274 y en el centro de $375, mientras que 50 panes tipo francés se pro­ ducen a un costo de $266 en el sur y $350 en el centro. 0 Suponiendo que el PNB está creciendo exponencial­ mente, ¿cuál será el PNB en 1990? (i) M A T E M A T IC A S U N IV E R S IT A R IA S O La división sintética es un procedimiento que simplifica la división de un po­ linomio p (x) entre una expresión de la forma S(x) = x — a. Igual que en el proceso corriente de la división, con la división sintética es posible obtener el cociente y el residuo, de tal forma que: P (x) = S(x) • Q (x) + R (x) El procedimiento es similar al de la división corriente con la diferencia de que se trabaja únicamente con los coeficientes, lo cual facilita el proceso. l ) 2 (*) = 40,000,000 - 8,000,000 = 32,000,000 Al? + 13*2 + 24x + 9 tiene todos los coeficientes positi­ vos, ningún número positivo puede hacer Q(jc) = 0; ésto es Q(x) no tiene raí­ ces positivas. 24 Esto no significa que integrar sea un procedimiento fácil de realizar; por el contrario, es tal vez uno de los más difíciles. 9x2 es un cuadrado perfecto 9*2 = (3a:)2 = (3 * )(3 * ) 2. 4 (?) Download. 1 12.5 234 . se cumple que: J a) Si * = + , entonces (3, 4) -* 7 que usualmente escribimos 3 + 4 = 7 b) Si * = X, entonces (2, 5) -*■ 10 que escribimos 2 X 5 = 10 c) Si * = —, entonces (2, 5) ¥= (5, 2) dado que 2 — 5 ¥= 5 — 2 d) Si * = —, entonces (7, 10) -►—3. Encontrar el dominio y el rango de una función. 11 x ( i ) x 3 la inversa de A es: " 1\1 \ \ se define det A = - [(fln i) y Definición 4: Se dice que una función f es continua en el punto x = c, si se cumplen las siguientes condiciones: 1. f está definida en x = c 2. x+ 4 En matemáticas la representación de los números reales com o puntos de una recta es de suma importancia. (1 + x)4 = = | Se entiende que a ninguna variable se le puede asignar un valor que anule cualquiera de los denominadores que aparecen en la fracción. (9)+ Como se observa en la figura anterior la función logaritmo natural es siempi creciente, corta al eje X en 1, tiene como dominio el conjunto de los real» positivos y como codominio los números reales, y es tal que In e = 1 . y/T Como conclusión podemos decir que si f es discontinua en x = c, pero Lím f(x) existe, entonces basta definir f(c) = Lím f(x) para remover la disx-+ c jc -> c continuidad. -3 - 3 a 2 - 2 a + 21 + 3*2 + 9a 0 5 140 x = -------— — Calcule el área bajo la curva f(x) = x3 + 2x — l entre x ( - I T En este caso uti­ lizamos la siguiente disposición: ________ -5 _______ no hay punto de inflexión (0, °°) Un economista ha reunido los siguientes datos sobre el producto nacional bruto (PNB) de cierto país: Año M ínim o común denominador x + ü2 (Decisiones sobre producción) _1 luego la solución es el par (2, —3) Gráficamente, 8 -2 2 ( * + 3) ( 3 * - 1) + 20 jc+ 288 4. x2-16 2(3) ± (2 sfx T ~ Z f = (1 + x)2 1 Sugerencia: inicialmente aplicar la propiedad asociativa; recuerde la definición de car­ dinal de 2 conjuntos. Determine la ecuación de la recta, dadas las siguientes condiciones: a) Pasa por 4 4. jí_ 0 0 1 0 una recta son: q 4xy 2 2. Al observar la gráfica podemos afirmar que Lím f(x) = Lím f(x) = 3 x -*■ 1" x -*■ 1+ luego por el teorema anterior Lím f(x) = 3 x-y 1 En los anteriores ejemplos hemos utilizado algunas propiedades de lo límites. 21 2 i e) f) En este caso, m = 3, xo = 12, yo = 6 entonces, y = 6 + 3 (x — 12) y = 6 + 3jc — 36 y = 3 x — 30 Ejemplo 2 Calcule la ecuación de la recta que pasa por los puntos (—3, 4) y (7,-|). Cálculo para ciencias sociales y administrativas. + + Figura 14.2 0 T' (3) = 1,000 1 s( m s o) d) 0 b) Resuelva el problema anterior si la atracción de la gravedad es g = 3.7 m m — — , y la velocidad inicial es VQ - 20 —— . 1+ (-8 ) ( “ \ c) - La raíz de la ecuación polinomial mx + 6 = 0 representa el corte de la recta con el eje X. — [(2a:2 + 5*) (3*3)] = (2a? 24 5 * ~ 5 ± VT3 -4 2. a) 15x4 - 51x3 + 30x2 + 24x b) 10m2n —4mn2 + mn—n2 —6m3 c) xy3 + x2y2z + y3 + xy2z + x2y2 + x3yz + xy2 + x2yz d) -5 x 6 + 18xs - 3x4 - 28x3 - 14x2 + 24x + 24 e) 12a7 + 8a4 - 22a462 + 6a64 + 3a36* - 12a62 + 263 - 65 f) r3s2 - 2r3s + 6r> + 3r2s4 - 6 rV + IS rV + s6 - 2 s s + 6e4 g) 10x6 —x 5y + 4x4y2 + l l x 3y3 —7x2y4 —2xys + y6 h) 4ae -6 a * 6 +3a462 - 6 a 363 - a 2&4 + 2a6s - 6 * 3. a) a4 + 3a2 - 4 0 b) x 2 - 2 c) 225 + 30x2ys + * V ° d) a4b2 -2y/3a2b - 3 Ejemplo 14 Calcule Lím *■ d) (4ay + x 2 —4y4 ) + (x2 + y 2 — 2xy) — (4x2 — 3y2 + Ix y ) e) (6r2s+ r3 + 4s5) — (3r3 — 4s5 + 6rs2) + (10r2s + 15rs2) f) 4.x2 + 3 x + 2 é*3 - 6 * 2 - 1 0 * - 3 = 0 1 EXPONENTES Y R AD IC A LES a2 + 1 \/3a2 + 2 a + 5 159 * ) , ¿Qué longitud y anchura habría de tener para que su área fuera máxima? WebINTRODUCCIÓN. (r 2v dy dt Ejercicios y problemas 12 '( jc) = Lím (20,000 — 0.4* — 0.2A*) Ax-* 0 R '( jc) = 20,000 - 0.4*, luego R'(x) (10,000) = 16,000 e) U(X) 75,000 - 33,750 0 !? Los enteros son, pues, casos especiales de los números reales; pero no verifican todas las propiedades J2Í a R l l . (9 V ^ - l ) a Figura 8.3 Intervalo abierto a la izquierda. INFORMÁTICA > Doble Grado en Ingeniería Informática y Matemáticas: PDF DG. \/d'b ( jc ) A.R Ax Introducir las estructuras algebraicas básicas. Verifique el siguiente argumento: El conjunto de las parejas ordenadas que cumplen la re­ lación es: {(2, 6), (2, 10), (3, 3), (3, 6), (5,10)} . X 1 Algebra. Es claro que la intersección es el intervalo conformado por líneas de ambos trazos, luego [4, 8) n [6 ,1 1 ) = [6, 8) b) ER-F-003. _ 2(—1) (*) = *(1000 — V *") !? Las fórmulas anteriores se obtienen teniendo en cuenta que: d_ dx 10 30 I -4 y = [o2 + 3a] [a 3 - 2 a ] f) Resolviendo las operaciones, obtenemos: 1 = —6.1 (solución única de x 3 + i Notaremos la inversa de A por A ' 1, así: A ' A ' 1 = A~l A = I Ejemplo 12 * + 3y — z — 10 = 0 — Margarita es hermosa — Las matemáticas son difíciles — El agua está fría tampoco son proposiciones, porque el ser verdadero o falso depende de los gustos o las circunstancias. + --11 La fuerza se aplica a 10 m de altura. (n — fe)! Muestre que: |8+ ( - 2 /3 ) |< |8|+ 1 - 2 /3 1 k^_ fe3 En este caso también hemos eliminado los radicales del denominador A la expresión y/W— y/E se le llama el conjugado de y/E + y/E . decreciente convexa arriba ( s / 2 + y / 3 ) + ( y /5) 3** - a2 + 5 a + tt = ------------- ------------- 3. No obstante, la división es una operación binaria en los números rea­ les diferentes de cero. Lo anteñor nos lleva a la siguiente definición: 2 (4 x )(y) luego para reconocer cuándo una expresión es un trinomio cuadrado per­ fecto, debemos verificar que en dicha expresión dos de los términos sean cuadrados perfectos (ambos positivos o ambos negativos) y el otro término sea el doble producto de las raíces de los dos anteriores. CAPITULO f) g) h) i) i) V5" X (°~^)y(~ 90 M A T E M A T I C A S U N I V E R S I T A R I A S f 5_ l 1 x" —2 Todos los animales son mamíferos 5. + 2.8 22. y 3 V S r + 5s2 x+ y x 2 + 2y En una expresión algebraica cada una de las partes separadas por un “ sig­ no más” o por un “ signo menos” se denominan términos de la expresión algebraica. J 13 -6 jc 4 s/2 36y*° 12 10 x13x10 y > Ax + 9 y > x 1 + 4jc + 6 - > - 348 i 8 La adición es una operación binaria, es decir, que podemos sumar única­ mente dos números cada vez. d — dy lo cual significa que por cada unidad incrementada, el ingreso disminuye e promedio $6.25. o 5. 2 AXB = { ( a ,y) |x G A A x G B ) . ¡ x+ 2 * Capítulo 4 1.a; b) c) d) 2x+ y + f 4 El número racional que generalmente se expresa por — se puede repre­ sentar también por 2 c) = X no es una operación binaria en R porque (a, 0) -> (a + 0) no está defini­ da. Tablas de verdad Teorema 1 Si f es una función con segunda derivada, entonces: f es cóncava hacia arriba, para todo x tal que f " ( x ) > 0. f es cóncava hacia abajo, para todo x tal que f " ( x ) < 0. X dx a) 2 cantidad subradical j y -i 9. c) d) e) Dé un contraejemplo. Por medio de esta relación podemos asociar los elementos de A y B, de tal forma que a cada x que pertenece a A, le corres­ ponda un elemento de B definido como su raíz. Si 3 — 1 = 2, entonces 2 + 2 = 4 Una expresión como la inicial, que contiene fracciones en el numerador y/o en el denominador, se denomina fracción compleja y puede también re­ solverse mediante la siguiente regla: 299 El Grado en Ciberseguridad de UNIR, único 100% online y con un alto contenido práctico, te ofrece las herramientas y habilidades para ser un experto en resolver los problemas de seguridad de las tecnologías de la información. Ningún gato es blanco 4. Si la habitación ha de tener un perímetro de 200 m, halle las dimensiones que harán el área de la región rectangular lo mayor posible. 10.6 6.10 —3, —2, —1 , 0 , 1 , 2 , 3 , . 3 la primera columna de C7, y luego sumar dichos productos, así: 1 — Observe que a medida que crecen los valores de x , las imágenes crecen tam bién. c) 2 143 = 0, x = 0, x = —4 * — '» ( Pi : 5. 4 Ax Matriz nula: aunque anteriormente ya la habíamos mencionado, una matriz mXn donde todos sus elementos son iguales a cero se denomina ma­ triz nula. Ejemplos x2 — 1 X + f{x) dx 2 mínimo La siguiente tabla nos muestra que este cociente tiende a cero. 3. lOx x2 + 1 0_ Ejemplo 7 Como ejercicio demostraremos una de las propiedades anteriores, utilizan­ do las tablas de verdad. 13 m Sea y - 3u1 + 2u — 1 y u = 3jc + 4 ------- . Observando las parejas ordenadas, o el gráfico de la relación, podemos determinar que el conjunto <2, 3, 5} constituye el dominio de t ya que son és­ tos los elementos de E que cumplen la condición establecida. -3JC3 - 12JC2 y = 2*—2 y = —*s + * + 4 y '= 5x4 —16x3 — — 2x2 Ejemplo 1 Si f(x) = 3a2 , entonces F(x) = a3 es una antiderivada de f(x), ya que F'(x) --- (a:3) ' = 3o2 = f(x). - c) dx =(a3—y/xs )y3,siparajc=4, y=0 d) f( 6) = 7 En la Figura 10.4 aparece el diagrama que ilustra la situación. ( 2 x + 1)(8jc + 3) — (4jc2 + 3jc) (2) i) e + ae Para cada caso encuentre (y — fe)2 = —4a (x — fe) ____ ^ 107 n Enter the email address you signed up with and we'll email you a reset link. Ac entonces Ac 7 c) 2 X~ T asíntota vertical '5 b) ^ ° M A T R IC E S 2jcy . Figura 3.9 El plano cartesiano. [(1 — 2-2) + (-1 *8 *3 ) + (5*4*4)] - vTS = 2 Deci­ mos que a es mayor que b, y escribiremos a > b, si a — b es positivo; ésto es, 156 1 3 ü2 293 f) 5. y Es decir, | x |< 1 implica que x > —1 y jc < 1 o lo que es lo mismo, —1 < x < 1. 5 a + (b X c) f (a) í + dv 1 y —— = 4x, entondx 1 0 0 dw dx x ( i ) x ( i ) ~ Solución: C(*) a) Costo promedio C = --------; x = 10,000 x — 23- McGraw-Hill. 5*4 e) °1 2 M A TEM A TIC A S U N IV E R S ITA R IA S (*) = INDICE = (a + b) X (3a7)(2a5) 3) (VS)2 6 1 ~2 2 Lím f(x) = Lím x -* 2 M A TEM A TIC A S U N IV ER SITA R IA S f(X) 1+ 2, a * (b * c) ¥= (a * b) * c, luego * no es asociativa en R. , = 2xy + y 2 LECTURA Al multiplicar la fila 2 de A por 4, por ejemplo, obtenemos A 2, equiva­ lente a A . vr 16 - 1) y + ci = F{x) + C? Factorizar correctamente expresiones algebraicas. f T = 2 5 + 0.926 T = 25.926 Ejemplo 7 Crecimiento bacteriano Una colonia de bacterias crece en forma proporcional a la cantidad presen­ te de bacterias en un instante de tiempo f; ésto es, si B representa la canti­ dad de bacterias, entonces V ' *“ “ 2 5 -V 3 Í 0 0 Determinación de las regiones de concavidad (convexidad). 1 4 1 2 R8: CAPITULO ~ t — x? Por la Propiedad 8a, podemos dividir ambos miembros entre 2 y concluir que x < —6. c) 12(3T ) X + V 1 — ¿Cuánto ganará el supervisor durante la marcha de producción si se usa el número óptimo de máquinas? Ejemplo 15 Calcule Lím x -*■ —1 (2V á ) 2 ~ { V b ) 2 Suponiendo que la demanda es lineal, ¿cuántos artículos venderá si decide fijar un nuevo precio de $3,000? Se ordenan en forma decreciente, con respecto al exponénte, ambos polinomios. 2 1. e) I 3* - 2y — 8 = 0 i —* + 3y — 2 = 0 5. son operaciones binarias en R. b) Por el contrario, la división: -Ó - 1 Ejemplo 12 Halle la ecuación de la recta tangente a la curva f(x) = x? Ejemplos Efectuar las operaciones indicadas 1. x - c + dp (oferta) - 3 an 11. a) (cambia el sentido de la desigualdad) Sean A = { —1, n , 0| 180 Al finalizar el presente capítulo el estudiante estará en capacidad de: 1. LOGICA 29 El coeficiente de x k en el desarrollo de (1 + x)" es n(n — 1) (n — 2 ) . 8.3 / / / / / 0 La sustracción no es conmutativa en R porque por ejemplo, 8 — 2 ¥= 2 - 8. P O LIN O M IO S Y FU N C IO N E S P O LIN O M IA LE S Lipschutz, Seymour. 1 15 (5x - l) 2 (15 - x 2) + 2x (5x - l)3 Son también números irracionales: e = 2.7182815, y/~2, vT3 y en general todas las raíces no exactas de números enteros. 4.3 dy V ( jc 3 — 2 De manera similar, el ingreso promedio R se define com o el ingreso divi­ dido entre el número de unidades demandadas, esto es, Si Tenga en cuenta que el límite de f en x = 2 no depende de f(2). 11. 2 , 12 x + 7 |< 4 implica que —4 < 2 x + 7 < 4 luego —11 < 2 x < —3; así, |x + 4 |> —6 267 Demuestre que: [A U (B n A ')] U [ A' n B' n C] = A u B U C Referencias Budnick, Frank S. Matemáticas aplicadas para administración, economía y ciencias sociales. __ c) Distancia focal c del centro O a uno de los focos C = V a2 “ 6i d) Excentricidad e e= Cuando la ecuación a maximizar (o minimizar) dependa de una única variable, se obtiene el máximo (o mínimo), igualando la primera derivada a cero, buscando los pun­ tos en donde la primera derivada no existe, o verificando los puntos extremos. AT = 11,300 -3 2. [ ( - 1 ) 2 ]4 = ( - l ) 2 * 4 = ( - l ) 8 p entonces y Negación x = 2573.15 Un número mayor de 400 empaques. b) Por ejemplo, como 78 Procediendo en forma análoga para los demás elementos en la matriz pro' ducto obtenemos: \l 5 + 1 = 8 si, y sólo si, 5 — 1 = 2 c = -4 6 Sustituyendo estos datos en la fórmula, se obtienen las dos raíces o solu­ ciones: *= 300,000 3 52 = 25 ó 3 • 3 = 9 La gráfica muestra el área bajo la curva. c j) (3JC2 ) 43 •/x + 1 + V 2x — 3 y por consiguiente [ ( 2 , a ) n ( - 5 , oc) ] u [ ( - a , 2 ) n ( — « , — 5 ) ] 2 E+ F X radianes Es el conjunto de puntos (*, y) del plano para los que la diferencia de sus dis­ tancias a dos puntos distintos prefijados, llamados fócos, es constante. )2 - ( V F )2 5 373 lím F(x) = 9 x->3+ =12 71 9 En particular halle ln 1, ln 2, ln e, ln 5, ln — , y ln e 2. El vértice corresponde al valor máximo o mínimo de la parábola y se enb cuentra ubicado en el punto cuya abscisa e s r = .E l valor correspon2a diente a y se encuentra remplazando este valor de x en p ( jc ) ; (véase Figu­ ra 7.6). y% — y\ d) _ a 31 2 jc + En una gráfica se pueden presentar tres tipos de asíntotas lineales: horizontales, verticales y oblicuas, de las cuales máximo dos se pueden presentar simultáneamente en una misma gráfica. Paso 5: Determinación de las regiones de crecimiento y decrecimiento, y de máximos y mínimos La determinación de las regiones de crecimiento y decrecimiento se basa én el siguiente teorema: En este caso la palabra polinomio representa sólo expresiones algebraicas que tie­ nen dos o más términos. Solución: ( 6 .6) El costo total es igual al costo fijo más el costo variable, C T = CF+ CV donde el costo variable depende del número de artículos que se prodúz­ can (mano de obra, materia prima), mientras que los costos fijos perma­ necen constantes, independientes de las unidades producidas (arriendo, salario básico, etc.). = +2 + 19 y v = 6a:"2 + a? Resuelva en x la ecuación dada: a) 2 = e0 06* b) 1x de R$ 299,00 À vista. JL/md 1 Paso 3: Segunda derivada y puntos de inflexión „= 1 Para multiplicar dos o más expresiones algebraicas se realiza el producto de los signos, de los coeficientes y de la parte variable. f Convertir expresiones con exponentes fraccionarios a expresiones con radicales. Primero, se suma 5 a ambos lados para obtener 2x — 5 + 5 = x + 6 + 5 2x = x + 11 Después restamos x a lado y lado y se obtiene 2x — x = x — x + 11 x = 11 Por consiguiente el conjunto solución es S = |11> c) V £T máx. Figura 6.7 2 = í M A T E M A T IC A S U N IV E R S IT A R IA S = 3.34 X 1 0 -3 3 Si f(x) = — 26 b= 0 11 < SA 12 210 9 i r = ------ = cosec 9 155^ ) " 4 » 0 , 2JC2 = U ( jc ) V x= 0 . 0 3. 5 (1,0) (2,2) Oi2"| I a 22 4 4 cóncava hacia amba si x > — , y f es cóncava hacia abajo si x < — .L a Ta3 3 bla 13.1 resume dicha información. £ 1 + -H íJ 1 2 6 .) “■ = a3 + /n (1 + x 1) (— < * ,« ) = 12 2x + 5 7 . 4 L + 319 lím F(x) —27 x-+3* (0.8607) Capítulo 6 47 1. a) de donde se obtiene 2 t 9 X = x ln a 8.6 2 3 Ejemplo 5 1. 3 = e0Mt 26 Aunque las propiedades están enunciadas para logaritmos naturales, éstas se cum píen para los logaritmos en cualquier base. 8 a) Es claro que en el intervalo [0,1], f(x) - 2x es mayor que cero. 5 b 22 Universidad de Granada. a) Después de 1000 millones de años, ¿cuánto quedará si se tienen inicial­ mente 2 gramos de uranio radioactivo? 6x2 + 3 5(2x + 3x) a) en este caso, hemos eliminado el radical del numerador. De hecho, no todos los polinomios tienen raíces racionales, por ejemplo, la raíz de jc2 + 3x + 1 = 0, es -3*^ 5 ------ , que corresponde a un número irracional. dv dt Puesto que la adición es asociativa en R, definimos a + b + c com o igual a cualquiera de las expresiones (a + b) + c ó a + (b + c). 2 (* + Ax) s) Dada la función de costo c = * 3 — 6 * 2 + 13*. f) y De acuerdo a la figura, el significado de “ área bajo una curva” es real­ mente el área entre la curva y el eje X. Dependiendo del lugar donde está si­ tuada podría ser positiva o negativa. 4 jc 1 x= 3 Ejemplo: Son expresiones algebraicas 14 Cada caja de tipo clásico necesita——de hora-máquina para ser envasada, 15 mientras que la de tipo exportación necesita - i de hora-máquina. También aquí llamaremos a S el con­ junto solución de P(*, y) = 0. x — es claro que el valor de verdad de la proposición compuesta es verdadero. V "3 180 M A T E M A T IC A S U N IV E R S IT A R IA S j) A* 7. Lím jc -» b) J V Tomemos por ejemplo en el intervalo(—5, 2), el valor 0; al remplazar en (a —2) (x + 5) obtenemos —10. 2 dx dy La sustracción no es asociativa en R porque, por ejemplo, (1 2 3. dx a) 4 '1a '3 e) U 1 = ----- .luego x Si i = y/—i , entonces y/—4 = y f—I -v/T= 2/, que es una solución en los números complejos. 3x-5y+2= 0 * Grupo Editorial Iberoamericano. d = e7x+1 ------(2x + 1) dx ' ' Sea f(x) = A con­ tinuación se hallan los valores de verdad de las diferentes proposiciones com ­ puestas que se puedan establecer utilizando la Tabla 2.2. 28 = —— = 14 nos permite concluir que cuando x se acerca a 2 f(x) no tiende a un único vaLím x2 + 2x+ 1 no exislor (véase gráfica), por lo que concluimos que —--------------xte. b) e) 3000 (p + 10) - 3000 (p + Ap + 10) (p + Ap + 10) (p + 10) -3 0 0 0 Ap “ V3a:+ 16 — V2a: + 5 = —1 -i-[(2^)+(vr:,-vr)][7-4vs"] ’ 2(0) x + 5< 0 40,000 4 WebCap tulo 1 Matrices y determinantes 1.1. 7. 5m2 - g - x 2»»3 Si a ¥= O, entonces — es llamado inverso multiplicativo de a (véase R7). jc 2 Lím (x? (~ V 2 A X Resolveremos primero la operación indicada en las “ llaves” [4,6] n [3,8 ) '- 1 1 2 + ( - 2 ) (1) L b -d así dispuesto, es también una matriz. 2 = 2 x 2 + 5= 0 — ¿Cuánto cambiará el nivel de monóxido de carbono este año? Identidades para ángulos medios Calcule y y '' y y c) Una figura puede ser de gran ayuda. Intercambiando la fila 1 con la fila 3 en A obtenemos la matriz valente a A. j) XA 5 15Decimos que no existe, en el sentido de que no es número real. in2 = 0.6931 Ine = 1 InO : (no existe) in—2 : (no existe) . _ e) 13 d) ¿Cuáles son las respectivas tasas de cambio para el costo, el ingreso y la utilidad? jc2 X 1 375 Lo anterior puede generalizarse mediante el siguiente teorema: Ejemplo 9 Suponga que * es una operación definida de la siguiente manera: a * b = (a + b) + (a X b) a) Ejemplo 27 1 dv Sea v = ----- 7r R 7 •h, calcule-----3 dt d dt f) V Ejemplo 21 Resuelva (1) 2* — 5y + 8 = 0 (2) * + 4y — 9 = 0 Primero debemos resolver una de las ecuaciones ya sea para a o para y. Notamos que podemos evitar fracciones si despejamos x en la segunda ecua­ ción y obtenemos x = 9 — 4y Ahora sustituimos x por esta expresión en la primera ecuación. a 13 (l+ 00 \ WebFUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA Información general La Matemática es un pilar fundamental de la civilización y la cultura humana, en la actualidad los desarrollos tecnológicos, así como las ciencias modernas utilizan, de una forma u otra, su lenguaje, así como sus procesos de razonamiento. n(n — l ) ( n — 2) 1-2-3 f) Esta función inversa se denomina función logaritmo y se define de 1 siguiente manera: Definición: Si a > 0 y a =/= 1, entonces log x - 6 si, y solamente si, o* = *. 97 x 2m3^ 3 . J 4 x+ 5 puntos de inflexión: x = —2, ya que y "(—2) - 0 Paso 4: Regiones de concavidad -2 e) det A El siguiente paso será obtener los correspondientes ceros de esta columna. dy \x/x>a) , ’ 7T + k _7_ f x —3 7 de alam­ bre. L 75 e) Si a ¥= 0, ax + b = 0 tiene solución única. (x+ 2)3dJc e 7 (3 0 0 km)* - (10.56 km)7 300 km , * > 9 ) 0' x 2 + 2x — 8
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